KochKurve

Die Kochkurve ist eine klassische Fraktalfigur der Geometrie. Sie wurde 1904 von Helge von Koch eingeführt und dient als fundamentales Beispiel für Selbstähnlichkeit, Unregelmäßigkeit und unendliche Struktur. Die Grundform ist eine durchgehende Gerade, die durch rekursive Ersetzungen zu einer komplexen, aber stetigen Kurve entwickelt wird.

Konstruktion: Man beginnt mit einer Geraden. Die Linie wird in drei gleich lange Abschnitte unterteilt; der mittlere Abschnitt wird durch zwei Segmente ersetzt, die zusammen ein gleichseitiges Dreieck nach außen bilden, dessen Basis entfällt. Dieser Vorgang wird für alle vorhandenen Geradenabschnitte wiederholt. Durch unendliche Iteration entsteht die Kochkurve. Die Kurve ist nicht geschlossen, sofern man sie nicht zu einer Schneeflocke zusammenfügt.

Eigenschaften: Die Gesamtlänge wächst bei jeder Iteration um den Faktor 4/3 und wird bei unendlicher Iteration unendlich lang. Die Kurve ist kontinuierlich und nahezu nirgends differenzierbar. Ihre Selbstähnlichkeit zeigt sich darin, dass sie aus vier Kopien der herself besteht, jede um den Faktor 1/3 skaliert. Die Hausdorff-Dimension beträgt log 4 / log 3 ≈ 1,2619.

Koch-Snowflake: Wird dieselbe Ersetzungsregel auf alle drei Seiten eines Anfangsdreiecks angewendet, entsteht der geschlossene Koch-Snowflake. Der eingeschlossene Bereich hat eine endliche Fläche; für ein Dreieck mit Seitenlänge s gilt die Grenzfläche A = (8/5) A0, wobei A0 die Fläche des Startdreiecks ist. Die Perimeter wächst weiterhin unbeschränkt.

Bedeutung: Die Kochkurve dient als anschauliches Beispiel in der Fraktalgeometrie und wird in Mathematik, Informatik und Grafik verwendet, um Konzepte wie Selbstähnlichkeit, Fraktalität und Grenzverhalten zu veranschaulichen.