Lösungsmengen

Lösungermengen, oder Lösungsmengen, bezeichnen in der Mathematik die Menge aller Werte, die eine gegebene Gleichung, ein Gleichungssystem oder eine Ungleichung erfüllen. Sie werden als Teilmenge des Definitionsbereichs angegeben und oft mit einer Form wie L(P) = { x | P(x) gilt } notiert.

Eine einzelne Gleichung in einer Variable dient der Bestimmung der Werte, die die Gleichung wahr machen. Bei einem Gleichungssystem besteht die Lösungsmengen aus allen Vektoren, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Bei Ungleichungen ergeben sich typischerweise Intervallmengen, die die zulässigen Werte angeben.

Beispiele: Die Gleichung x^2 - 5x + 6 = 0 hat die Lösungsmengen {2, 3}. Ein lineares Gleichungssystem wie 2x + 3y = 6 und x - y = 1 besitzt eine eindeutige Lösung, z. B. x = 9/5, y = 4/5; die Lösungsmenge ist dann ein einziger Punkt in ℝ².

Eigenschaften: Lösungsmengen können leer sein (wenn keine Werte die Bedingungen erfüllen), endlich oder unendlich groß sein. Bei Ungleichungen ergeben sich häufig Intervall- oder Mengenverläufe, z. B. x > 4 oder x ∈ (−∞, 2] ∪ [5, ∞). Für Gleichungen mit Polynomfunktionen entspricht die Lösungsmenge den Nullstellen der Funktion, ggf. auch komplexe Lösungen.

Methoden: Lösen erfolgt durch Umformen, Faktorisieren, Ausklammern, Eliminieren oder grafisch durch Schnitt der Graphen. Die konkrete Lösung hängt vom Definitionsbereich ab (reelle, komplexe Zahlen etc.).