GaussVerfahren

GaussVerfahren, auch Gauss-Verfahren genannt, ist ein numerisches Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Es eliminiert schrittweise Variablen mittels Zeilenoperationen und erzeugt eine obere Dreiecksmatrix, von der aus die Lösung durch Rücksubstitution bestimmt wird. Das Verfahren ist nach Carl F. Gauss benannt und grundlegend in der numerischen Linearalgebra.

Vorgehen: Ein System wird als erweitertes Quadrat [A|b] dargestellt. Durch Zeilenoperationen—Zeilen tauschen, Zeile mit einer Nichtnullzahl multiplizieren, Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren—wird A schrittweise in obere Dreiecksform überführt. Danach erfolgt Rücksubstitution von unten nach oben.

Pivoting und Stabilität: In der Praxis wird meist Pivoting eingesetzt, um numerische Stabilität zu erhöhen. Beim partiellen Pivoting wird die Zeile mit dem größten Betrag im Pivot-Spalteneintrag gewählt. Skalierte oder volle Pivoting-Varianten verbessern weitere Stabilität und Robustheit gegen Rundungsfehler.

Komplexität und Varianten: Die Grundform hat etwa O(n^3) Rechenzeit und O(n^2) Speicherbedarf. Gauss-Verfahren kann zu Gauss-Jordan-Verfahren erweitert werden, das die vollständige reduzierte Form liefert, ist aber langsamer. Oft dient Gauss-Verfahren auch als Vorstufe zur LU-Zerlegung.

Anwendungen und Grenzen: Es löst lineare Gleichungssysteme in Wissenschaft und Technik, dient zur Matrixfaktorisierung und in vielen Algorithmen. Für sehr große oder spärliche Systeme kommen spezialisierte, effizientere Methoden zum Einsatz, etwa iterative Verfahren oder sparsige Implementierungen.