Lösungsbereiche

Lösungsbereiche bezeichnet in der Mathematik die Menge aller Lösungen eines Problems, einer Gleichung, einer Ungleichung oder eines Gleichungssystems. Sie gibt an, welche Werte die Variablen annehmen dürfen, damit die angegebenen Bedingungen erfüllt sind.

Der Begriff unterscheidet sich vom Definitionsbereich (Domain) und vom Wertebereich (Range) einer Funktion. Der Lösungsbereich bezieht sich auf die Werte, die eine Variable als Lösung annehmen kann, nicht auf die Eingaben eines Funktionswerts.

Beispiele: Eine einfache lineare Gleichung 2x + 3 = 0 hat eine eindeutige Lösung x = -3/2; der Lösungsbereich besteht aus der einzelnen Zahl {-3/2}. Falls a = 0, b ≠ 0, existiert keine Lösung; falls a = 0, b = 0, gilt x beliebig (Lösungsbereich ist die Menge der reellen Zahlen).

Für Ungleichungen wie x^2 < 4 ist der Lösungsbereich ein Intervall (-2, 2). Allgemein können Ungleichungs- oder Gleichungssysteme mehrere Intervall- oder punktuelle Teilmengen ergeben; bei mehreren Variablen spricht man oft von Mengen in R^n.

Bei linearen Gleichungssystemen kann der Lösungsbereich genau ein Punkt, eine Geraden oder Fläche oder auch eine leere Menge sein. In der linearen Algebra wird die Lösungsmenge oft als {x | Ax = b} beschrieben; bei unendlichen Lösungen lässt sich die Menge als x_p + Null(A) darstellen.

In der Optimierung wird der zulässige Bereich oder die Lösungsmenge durch Nebenbedingungen definiert; die Menge der Punkte, die alle Constraints erfüllen, wird als feasibile region oder zulässiger Bereich bezeichnet.

Terminologie: In der Schule verwendet man häufig Lösungsbereich als Oberbegriff; formale Texte bevorzugen je nach Kontext die Begriffe Lösungsmenge (bei Gleichungen) oder Lösungsraum (bei Vektorproblemen).