Trennebene

Trennebene ist der in der deutschen Mathematik gebräuchliche Begriff für eine Hyperebene, die zwei Mengen im affinen Raum voneinander trennt. Sie liegt in der Regel in einem euklidischen Raum und teilt den Raum in zwei Halbräume. Trennebenen finden Anwendung dort, wo eine lineare Trennung zwischen Mengen oder Klassen möglich ist oder gewünscht wird.

Formal lässt sich eine Trennebene H in R^n als H = {x ∈ R^n | a^T x = b} beschreiben, wobei der Vektor a ≠ 0 die Orientierung der Ebene festlegt und b ∈ R eine Verschiebung angibt. Die zugehörigen Halbräume sind H^+ = {x | a^T x ≥ b} und H^- = {x | a^T x ≤ b}. Eine Menge C liegt vollständig in einer Halbebene oder in der Trennebene, wenn a^T x ≤ b für alle x in C bzw. a^T x ≥ b für alle x in eine andere Menge D gilt; H trennt C und D, falls C in einer Halbebene und D in der anderen liegt.

Separating-Hyperplane-Theorem: Zwei nichtleere, disjunkte konvexe Mengen in R^n können, unter milden Voraussetzungen, durch eine Trennebene voneinander getrennt werden. In der konkreten Form gilt oft, dass zumindest eine der Mengen kompakt ist, was eine strikte Trennung ermöglicht.

Beispiele und Anwendungen: In der Ebene ist eine Linie eine Trennebene, etwa x1 + x2 = 1, die zwei Punktmengen trennt. In der Praxis dient eine Trennebene als Entscheidungsgrenze in der linearen Klassifikation, als Cutting-Plane in der linearen Programmierung oder als Werkzeug in der computergestützten Geometrie zur Partitionierung von Räumen. Der Begriff spiegelt die Vorstellung wider, Räume durch eine “Schnittlinie” zu teilen.