Mengentheorie

Mengentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Mengen – Sammlungen von Objekten – befasst. Zentral ist der Begriff der Zugehörigkeit: x gehört zu einer Menge A genau dann, wenn x ∈ A. Mengentheorie bildet das fundamentale Vokabular, mit dem mathematische Strukturen beschrieben werden.

Historisch geht der Ursprung auf Georg Cantor zurück, der im späten 19. Jahrhundert zeigte, dass Mengen unendliche Größen besitzen und dass es eine Hierarchie von Kardinalzahlen gibt. Sein Diagonalargument beweist, dass Potenzmengen größer sind als die Ausgangsmengen. Die Entdeckung von Paradoxien wie dem Russell-Paradoxon führte zur Entwicklung formaler Axiomensysteme.

Die verbreitetste Form der Mengentheorie ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC). Sie beruht auf einer strengen Sammlung von Axiomen, die das Bilden von Mengen, Vereinigung, Potenzmengen und Trennungen regeln und die Einführung von Unendlichkeit ermöglichen. Das Auswahlaxiom ergänzt dieses Fundament; in vielen Bereichen ist es nützlich, aber nicht überall erforderlich.

Zentrale Begriffe sind Kardinal- und Ordinalzahlen, Cantors Diagonalargument und die Kontinuumshypothese (CH). Ein wichtiger Befund ist die Unabhängigkeit von CH von ZFC: Gödel zeigte 1938/39, dass CH in einer bestimmten Modelltheorie von ZFC nicht widersprochen werden kann, Cohen bewies später, dass CH weder aus ZFC folgt noch widersprochen wird.

Mengentheorie dient als Fundament der modernen Mathematik: Sie liefert Sprache, Begründungslogik und formale Struktur. In der Informatik beeinflusst sie die Semantik von Programmiersprachen, Typentheorie und formale Spezifikationen.