Axiomensysteme

Axiomensysteme sind formale Rahmenwerke, mit denen mathematische oder logische Theorien aufgebaut werden. Sie bestehen aus einer formalen Sprache, einer Menge von Axiomen und Schlussregeln, die zur Ableitung von Folgerungen dienen. Ausgehend von den Axiomen sollen Theoreme bewiesen werden; die Axiomsätze legen die Grundannahmen fest, während die Regeln bestimmen, wie aus diesen Annahmen neue Aussagen folgen.

Zu den zentralen Bausteinen gehören die formale Sprache mit Symbolen, die Syntaxregeln, die Axiome (oft als Axiomenschema) und die Folgerungsregeln. Man unterscheidet logische Axiome, die allgemein gültige Gesetze der Logik darstellen, und nicht-logische Axiome, die die spezifische Struktur der betrachteten Theorie festlegen. In vielen Systemen werden Axiomenschemata verwendet, um unendlich viele Instanzen eines Grundsatzes zu definieren.

Bekannte Beispiele sind die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen, das Zermelo-Fraenkel-System mit der Wahlaxiom (ZFC) für die Mengenlehre sowie axiomatisierte Geometrie nach Euklid oder Hilbert. Formale Begründungen erfolgen häufig in Hilbert-Systemen oder durch natürliche Deduktion; die Beweistheorie untersucht dabei Eigenschaften wie Konsistenz, Vollständigkeit und Entscheidbarkeit von Axiomensystemen.

Wichtige metatheoretische Eigenschaften umfassen Konsistenz (das System lässt sich nicht widersprechen), Vollständigkeit (jede wahre Aussage des Systems ist beweisbar) und Entscheidbarkeit (es gibt einen Algorithmus, der entscheidet, ob eine Aussage beweisbar ist). Gödel zeigte Grenzziehungen dieser Eigenschaften und bewies Inkomplettheitssätze für viele ausreichend starke Systeme. Historisch kennzeichnen Axiomensysteme die Entwicklung von der antiken Geometrie bis zur modernen formalen Logik und Mathematik.