injektive

Injektivität, auch als injektive Abbildung bezeichnet, ist eine Eigenschaft einer Funktion zwischen zwei Mengen. Eine Funktion f: A → B heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente aus A auf verschiedene Elemente aus B abgebildet werden. Formal gilt: Für alle a1, a2 ∈ A gilt f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2. Äquivalent dazu: Falls a1 ≠ a2, dann gilt f(a1) ≠ f(a2). Das Bild Im(f) hat damit zu jedem y ∈ Im(f) genau ein Urbild in A.

Injektive Funktionen unterscheiden sich von surjektiven und bijektiven Funktionen. Eine Bijektion ist injektiv und surjektiv zugleich und besitzt eine eindeutige Umkehrfunktion f⁻¹: B → A. Bei einer rein injektiven Abbildung existiert auf dem Bildbereich eine Umkehrung, also eine Funktion g: Im(f) → A mit g(f(a)) = a für alle a ∈ A; eine globale Umkehrfunktion von B nach A existiert im Allgemeinen nicht.

Beispiele:

- Die Funktion f: ℕ → ℕ, f(n) = 2n ist injektiv, da unterschiedliche natürliche Zahlen zu unterschiedlichen Vielfachen von 2 führen.

- Die Funktion f: ℤ → ℤ, f(x) = x² ist nicht injektiv, weil f(1) = f(-1).

- Beschränkt man den Definitionsbereich auf [0, ∞), ist f(x) = x² injektiv.

Verwendung und Bedeutung: Injektivität garantiert, dass Elemente des Ausgangs eindeutig über die Abbildung identifiziert werden können, sofern der Bildbereich eingeschränkt ist. In der Mathematik wird der Begriff auch in der Kategorientheorie (Monomorphismus in der Kategorie der Mengen) und in der Dimensionstheorie sowie in der Algebra häufig verwendet.