Sinusfunktionen

Sinusfunktionen sind grundlegende trigonometrische Funktionen. Die Sinusfunktion ordnet jedem reellen Winkel x den y-Koordinatenwert des entsprechenden Punktes auf dem Einheitskreis zu. In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht sin(x) dem Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse. Allgemein gilt sin: R→[−1,1]. Der Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen und der Funktionswert liegt im Intervall [−1,1]. Die Funktion ist periodisch mit der Periode 2π und eine ungerade Funktion: sin(−x) = −sin(x). Graphisch ergibt sich eine Wellenform, die zwischen −1 und 1 verläuft, durch den Ursprung geht und Nullstellen bei x = nπ besitzt, wobei n ein ganzzahliges Element ist.

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) und das unbestimmte Integral von sin(x) ist −cos(x) + C. Allgemein lässt sich sin durch die erweiterte Form sin(bx + c) darstellen, wobei Amplitude 1 bleibt und die Periode 2π/|b| beträgt; eine Phasenverschiebung wird durch c beschrieben. Eine weitere bedeutsame Darstellung ist die komplexe Exponentialform: sin(x) = (e^{ix} − e^{−ix})/(2i). Sinusfunktionen dienen in Naturwissenschaften und Technik zur Beschreibung von Schwingungen, Wellen und periodischen Signalen, z. B. in Akustik, Elektronik, Mechanik oder Regelungstechnik. In der Theorie stehen Eulerform und Fourier-Analysen im engen Zusammenhang mit der Sinusfunktion.