differentiaalmodellen

Differentialmodellen zijn wiskundige modellen die de veranderingen in een systeem over tijd beschrijven met behulp van differentiaalvergelijkingen. Ze geven aan hoe de toestand van het systeem evolueert op basis van de huidige toestand en eventueel tijdafhankelijke factoren. In de praktijk worden ze toegepast op situaties waar processen continu veranderen, zoals biologie, economie, fysica en engineering. Er bestaan verschillende typen, waaronder gewone differentiaalvergelijkingen (ODE’s) voor systemen met een finite aantal variabelen en partiële differentialvergelijkingen (PDE’s) voor systemen met ruimtelijke variatie. Daarnaast kunnen vertragingseffecten (DDE’s) of stochastische elementen (SDE’s) voorkomen.

Constructie en vorm. Bij meeste deterministische differentialmodellen kies je als uitgangspunt een set toestandsvariabelen x(t) en formuleer je dx/dt = f(x,t,θ), waarbij θ een verzameling parameters is. Voor PDE’s geldt meestal ∂u/∂t = F(u, ∇u, x, t; θ) met geschikte randvoorwaarden. Het model wordt gekoppeld aan initiële condities (of beginwaarden) en, waar van toepassing, randvoorwaarden op de grenzen van het ruimtelijk domein.

Oplossing en analyse. Eenvoudige lineaire ODE’s kunnen vaak analytisch opgelost worden; complexere modellen vereisen numerieke methoden zoals Euler of Runge-Kutta. Voor PDE’s worden vaak eindige-verschillen- of eindige-elementmethoden toegepast. Analytische en numerieke benaderingen worden vaak aangevuld met een kwalitatieve analyse van stabiliteit, evenwichtspunten en gedrag in de faseruimte.

Kalibratie en validatie. Parameters θ worden vaak geschat uit data en modellen worden gevalideerd door vergelijkingen met waargenomen metingen. Sensitiviteitsanalyses en identificeerbaarheidsbeoordelingen helpen bij het beoordelen van betrouwbaarheid. Toepassingen variëren van epidemiologie en biologie tot natuurkunde en techniek, met als doel begrip, voorspelling en scenario-analyse. Modelle worden echter gehinderd door aannames en onzekerheden in data en parameters.