stochastische

Stochastische systemen zijn systemen waarin toeval een onvermijdelijke rol speelt. De term stochastisch wordt gebruikt voor modellen en processen waarin toekomstige uitkomsten niet met zekerheid kunnen worden voorspeld, zelfs als de beginvoorwaarden bekend zijn. In deterministische modellen kan de uitkomst volledig worden afgeleid uit de starttoestand; bij stochastische modellen hangen uitkomsten af van willekeurige factoren en worden ze meestal beschreven met kansverdelingen.

Stochastische processen zijn verzamelingen van toevalsvariabelen die afhankelijk zijn van een index, vaak tijd. Voor elk tijdstip t geeft het proces een kansverdeling of verwachting; de hele verzameling beschrijft hoe de toestand van het systeem zich door de tijd ontwikkelt. Voorbeelden zijn de discrete random walk, het Poisson-proces (aantal gebeurtenissen per tijdseenheid) en het continue Brownse beweging (Wiener-proces). Realisaties van een stochastisch proces tonen doorgaans een grillig pad.

Toepassingen liggen breed: in de financiën voor prijsbepaling van opties en risicobeheer door stochastic calculus; in de natuur- en technische wetenschappen voor modellering van diffusieprocessen en systemen onder onzekerheid; in statistiek en computationele wetenschappen voor Monte Carlo-simulaties en stochastic optimization; in machine learning bij stochastic gradient descent.

Belangrijke concepten zijn kansverdeling, verwachting en variantie, onafhankelijkheid en stationariteit. Bijkomende methoden omvatten stochastische differentiaalvergelijkingen (SDE’s) en Ito-calculus voor continue tijdmodellen, evenals discrete tijdmodellen zoals Markovketens. Monte Carlo-simulatie en gerelateerde technieken worden veelvuldig toegepast in statistiek, financiën en datawetenschap.

Historisch gezien ontstond stochastiek uit de kansrekening in de afgelopen eeuwen; de moderne rigoureuze basis kwam door Kolmogorov, Wiener en Itô in de 20e eeuw.