Rangenstructuren

Rangenstructuren is een term uit de wiskunde en informele beschrijvingen die verwijzen naar systemen waarin elementen in discrete lagen of rangen zijn ingedeeld volgens een rangfunctie. Het doel is om de structuur en de relaties tussen elementen te begrijpen door de rang of graad waarin ze voorkomen centraal te stellen. Rangenstructuren komen voor in verschillende takken van de wetenschap, meestal waar hiërarchieën of gradaties een rol spelen.

Een veelvoorkomende formaliteit is een gegradeerde structuur. Een gegradeerde vectorruimte bijvoorbeeld kan worden opgedeeld in subruimtes die elk een bepaalde rang dragen, zodat de hele ruimte wordt opgebouwd uit de directe som van deze onderdelen. In gegradeerde algebren geldt vaak dat het product van elementen afkomstig uit rangen i en j behoort tot rang i+j. In gegradeerde posetten is er een rangfunctie die elk element een getal toekent, en in relaties tussen elementen stijgt de rang met één bij elke dekking-relatie.

Voorbeelden en toepassingen: gegradeerde vectorruimtes en gegradeerde algebren spelen een centrale rol in de algebra en representatieleer. In combintatoriek en topologie komen rangen voor bij gegradueerde posetten en bij gestratificeerde ruimtes zoals CW-comlexen, waar skeleta’s en dimensies fungeren als rangen. In informatica kunnen lagenarchitecturen, data-flows en netwerken met rangen worden opgebouwd om processen stap voor stap te structureren.

Constructie en eigenschappen: bij het opzetten van een rangenstructuur kiest men een rangfunctie en verdeelt men de objecten in rangen die aan die functie voldoen. Kenmerken zijn de verdeling over de rangen, de interactie tussen rangen en, indien van toepassing, de gegeneraliseerde generating- of karakteristieke functies die de structuur samenvatten.

Zie ook: gegradeerde algebra, poset, filtratie, CW-complex.