vectorruimtes

Een vectorruimte, ook wel vectorruimte genoemd, is een verzameling V met twee operaties: optelling van vectoren en scalaire vermenigvuldiging door veldwaarden uit F. Gebruikelijke velden zijn de reële getallen R en de complexe getallen C. De axioma’s eisen onder meer: geslotenheid onder optelling en scalaire vermenigvuldiging; optelling is commutatief en associatief; er bestaat een nulvector en ieder element heeft een additief invers; en scalaire vermenigvuldiging voldoet aan distributiviteit en de eigenschap 1·v = v.

Voorbeelden: R^n (over R) is een vectorruimte met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging. Andere voorbeelden zijn de ruimte van polynomen met reële coëfficiënten, de ruimte van continue functies op een beetje interval, en de ruimte van alle m×n-matrices over F. Dimensies zijn finiet in R^n en kunnen oneindig zijn in andere ruimtes.

Subruimten: een deelverzameling W van V is een subruimte als W niet leeg is en gesloten onder optelling en scalaire vermenigvuldiging; dan is W zelf een vectorruimte met dezelfde operaties. Voorbeelden zijn lijnen en vlakken die door de nulvector gaan. Een basis van een vectorruimte is een verzameling vectoren die lineair onafhankelijk zijn en de ruimte genereren; de dimensie is de grootte van een basis. Dimensies kunnen finiet of oneindig zijn.

Lineaire afbeeldingen: een lineaire transformatie T tussen vectorruimtes behoudt optelling en scalaire vermenigvuldiging. Het beeld en de kern geven inzicht in de structuur; in het finite-dimensionale geval geldt het rang-nulliteitstheorema: dim ker T + dim im T = dim V. Isomorfismen tonen equivalente vectorruimtes.

Vectorruimtes vormen de kern van de lineaire algebra en worden toegepast in wiskunde, natuurwetenschappen en techniek, bij het oplossen van systemen lineaire vergelijkingen, transformaties en modellering van vectorvelden.