rangfunctie

Rangfunctie is een term uit de wiskunde die verwijst naar een functie die de rang of hoogte van elementen meet in een bepaald structureel type. De specifieke betekenis varieert afhankelijk van de context, maar in alle gevallen geeft de rangfunctie een getal van orde van grootte aan dat de structuur van elementen of subsets weerspiegelt.

Rangfunctie in verzamelingen en gedeeltelijke ordre systemen (posetten)

In een getallende poset of in een gegradueerde (gerangschikte) poset kent men vaak een rangfunctie ρ: P → N. Hierbij geldt meestal dat ρ(min) = 0 voor het minst element en dat wanneer y een dekking x heeft (y bedekt x), dan ρ(y) = ρ(x) + 1. Alle maximale ketens hebben dan dezelfde lengte, wat de poset graded maakt. De rang geeft aan op welk niveau een element zich bevindt. Voorbeelden zijn het booleaanse meetpuntverzameling en andere gegradueerde posetten. De rang is monotone: als x ≤ y, dan ρ(x) ≤ ρ(y).

Rangfunctie in matroïde theorie

In de matroidelektuur is de rangfunctie r: 2^E → N gedefinieerd door r(A) = max{|I| : I ⊆ A en I onafhankelijk}. Eigenschappen zijn r(A) ≤ |A|, r(A) ≤ r(B) als A ⊆ B (monotoniciteit) en submodulariteit: r(A) + r(B) ≥ r(A ∪ B) + r(A ∩ B). De rangfunctie bepaalt de onafhankelijkheidsstructuur van de matroïde en levert concepten zoals basissen en circuits op.

Rang van een matrix

In de lineaire algebra wordt soms ook gesproken over de rangfunctie van een matrix. De rang r(A) is de dimensionale ruimte gespannen door de kolomruimte (of de rijenruimte). Kenmerken zijn onder meer dat r(A) ≤ min(m, n) voor een m×n matrix, en r(A) blijft ongewijzigd onder rij- of kolomoperaties die rij-echelonvorm of rijreduktie toepassen.

Zie ook

Rang, matroid, poset, gegradueerde poset, submodulariteit. Etymologisch: rang betekent nivellering of niveau en verwijst naar de hoogte van elementen binnen een structuur.