rijechelonvorm

Rij-echelonvorm (rij-echelonvorm of REF) is een standaardrepresentatie van een matrix in de lineaire algebra. Een matrix is in REF als hij is verkregen via elementaire rij-operaties en aan drie voorwaarden voldoet: alle niet-nul rijen staan bovenaan; in elke niet-nul rij is de eerste niet-nul entry, het pivot, gelegen rechts van de pivots in de rijen erboven; onder elke pivot bevinden zich enkel nullen. Rijen die volledig uit nullen bestaan, staan aan het eind.

Een gereduceerde rij-echelonvorm (RREF) heeft daarnaast nog de eigenschap dat elke pivot gelijk is aan 1 en dat in de kolom van elke pivot alle andere entries nul zijn. De RREF is uniek voor een gegeven matrix, terwijl REF niet per definitie uniek is.

Toepassingen en betekenis: REF en RREF vereenvoudigen het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen en maken de rang van een matrix duidelijk. Ze helpen bij het bepalen of een systeem consistent is en hoeveel vrije variabelen het heeft. Het proces van omzetten naar REF of RREF gebeurt via Gauss- of Gauss-Jordan-eliminatie met elementaire rij-operaties (rij omwisselen, vermenigvuldigen met een niet-nul scalar, en een veelvoud van een rij op een andere rij optellen).

Voorbeeld: een matrix A = [[1, 2, 0], [0, 0, 3], [0, 0, 0]] is in rij-echelonvorm. De eerste niet-nul rij heeft pivot in kolom 1, de tweede in kolom 3, en onder elke pivot staan nullen; de matrix is nog geen RREF omdat de tweede pivot niet gelijk is aan 1 en er nog geen nul boven die pivot is gegarandeerd.

Rij-echelonvorm is een fundamenteel concept bij het analyseren van systemen en de rangberekening van matrices.