standaardrepresentatie

Standaardrepresentatie is een term uit de representatietheorie die verwijst naar de natuurlijke of definiërende representatie van een groep G op een vectorruimte V. Vaak gaat het om G als een matrixgroep en V als de bijbehorende defining space; bijvoorbeeld GL(n, F) werkt op de n-dimensionale vectorruimte F^n via matrixvermenigvuldiging: g · v = gv.

In de context van de symmetrische groep S_n wordt met de standaardrepresentatie het (n−1)-dimensionale subrepresentatie bedoeld van de permutatierepresentatie op F^n. Dit subruimte bestaat uit alle vectors met som van de coördinaten gelijk aan nul: W = { (x_1,..., x_n) ∈ F^n | x_1 + ... + x_n = 0 }. De representatie op W wordt als de standaardrepresentatie van S_n beschouwd en dient als basis voor vele constructies in de representatietheorie.

Eigenschappen en perspectieven: de standaardrepresentatie fungeert als een fundamenteel bouwsteen voor andere representaties, bijvoorbeeld via tensorproducten, exterior en symmetric powers, of als onderdeel bij decomposities van complexere representaties. Voor GL(n) is de natuurlijke (definiërende) representatie irreducibel over velden waarvan de karakteristiek niet speciaal is. Voor S_n is de standaardrepresentatie in karakteristiek 0 meestal irreducibel; in andere kenmerken kunnen er afhankelijkheden ontstaan die leiden tot submodules of een onvolledige splitsing.

Zie ook: representatie, definiërende (standaard) representatie, permutatierepresentatie.