kolomruimte

Kolomruimte van een matrix A is, in de meeste wiskundige contexten, de verzameling van alle kolomcombinaties van A. Concreet is de kolomruimte Col(A) het subruimte van het doelluchter F^m dat alle vectoren kan schrijven als A x voor een zekere x in F^n. Het is dus de afbeelding van de lineaire transformatie die door A wordt gerepresenteerd: A: F^n → F^m, x ↦ A x.

De kolomruimte heeft de betekenis van de beeldruimte van deze transformatie. De dimension van Col(A) heet de rans (rank) van A; dit is invariant onder rij-operaties die worden toegepast bij het terugbrengen van A naar een gereduceerde rijvorm. Een praktische manier om een basis voor Col(A) te vinden, is te kijken naar de kolommen van A die overeenkomen met pivots in de gereduceerde vorm van A: deze pivot-kolommen van A vormen een basis voor Col(A). In veel gevallen volstaan ook de kolommen van A zelf die niet afhankelijk zijn van voorgaande kolommen.

Voorbeeld: laat A = [[1, 0, 0], [0, 1, 0]] een 2×3-matrix zijn over een veld R. De kolomruimte Col(A) is dan het hele R^2, want de kolommen vormen de basis e1 en e2. De kolomruimte bevat alle vectoren in R^2; elk vector b in R^2 kan worden geschreven als A x voor een geschikt x ∈ R^3.

Belangrijke toepassing: een vector b ligt in de kolomruimte van A precies wanneer Ax = b een oplossing heeft; dit verklaart gedeeltelijk de oplosbaarheid van lineaire systemen en de constructie van oplossingsruimten en projecties.