oplossingsruimten

Oplossingsruimten (meervoud) verwijzen naar de verzameling van alle oplossingen van een probleem onder gegeven beperkingen. In wiskunde en optimalisatie wordt daarmee een structuur aangeduid: een vectorruimte, een affine subruimte of een haalbare set, afhankelijk van de context.

In de lineaire algebra is de oplossingsruimte van een stelsel Ax = b de verzameling x in R^n waarvoor Ax = b geldt. Als b = 0 spreken we van de nulruimte (kern) van A. Als het stelsel consistent is met een niet-nul b, vormt de oplossingsruimte een affine subruimte: x = x_p + v, waarbij x_p een specifieke oplossing is en v uit de nulruimte ker(A). De dimensie van deze ruimte is n − rank(A). Een basis van ker(A) geeft een parametrisering van alle oplossingen.

In het kader van optimalisatie definieert men vaak de haalbare ruimte: F = {x | beperkingen}. De doelstelling is f(x) te optimaliseren over F. Bij lineaire programmering is F een convexe polytope; de optimale oplossing ligt meestal op de rand of hoekpunten van F, afhankelijk van f en de beperkingen.

Voorbeeld: de vergelijking x + y = 3 heeft als oplossingsruimte alle punten op de rechte y = 3 − x in R^2. Een homogeen stelsel Ax = 0 heeft als oplossingsruimte de nulruimte van A.

Samengevat geven oplossingsruimten alle mogelijke oplossingen weer en vormen ze de basis voor methoden om systemen op te lossen en problemen te modelleren.