nulruimte

Nulruimte is een wiskundige term uit de lineaire algebra die verwijst naar de verzameling oplossingen van een homogeen systeem of van een lineaire transformatie. Voor een lineaire kaart T van een vectorruimte V naar W is de nulruimte het verzamelde set van alle vectoren v in V waarvoor T(v) = 0. Bij een m×n-matrix A is de nulruimte van A de verzameling van alle n-dimensionale vectoren x met Ax = 0. In beide gevallen is de nulruimte een subruimte van de domein van de transformatie.

Eigenschappen: de nulruimte is een onderruimte, bevat altijd de nulvector en is gesloten onder optelling en scalaire veelvouden. De nulruimte wordt vaak aangeduid als N(T) of N(A) en heeft een meetbare structuur: de dimensie ervan heet de nulliteit. De dimensionale relatie met de rang is verwoord in de rang-nulliteitstelling: de dimensie van het domein (bij een n×n-matrix A is dit meestal R^n) is gelijk aan de som van de rang van A en de nulliteit van A. Concreet bij een n×n-matrix A geldt nulliteit(A) = n - rank(A).

Berekening: de nulruimte wordt doorgaans gevonden door Gauss-eliminatie naar gereduceerde rij-eenheidsvorm (RREF). De vrije variabelen leiden tot een parametrisatie van alle oplossingen, die uitgedrukt kunnen worden als lineaire combinatie van basisvectoren van N(A). Als A een volledige kolomrang heeft (rank(A) = n), dan is N(A) enkel {0}; anders bevat N(A) onelementenreeksen die oplossingen van Ax = 0 vormen.

Relatie met transformaties: de nulruimte is de kernel van T, en staat centraal bij het oplossen van homogene systemen en bij het begrijpen van de structuur van lineaire kaartingen in vectorruimtes.