onderruimte

Een onderruimte is een vectorruimte W die als subset is opgenomen in een vectorruimte V over een veld F, waarbij W zelf dezelfde bewerkingen behoudt als V. Met andere woorden is W een onderruimte als W een subset van V is en onder de operaties van V gesloten blijft, zodat W ook een vectorruimte is met dezelfde optelling en scalar vermenigvuldiging.

De belangrijkste criteria zijn: W bevat de nulvector; voor alle u en v in W geldt dat u + v ook in W ligt; en voor elke scalar a in F geldt dat a u in W ligt. Deze drie eigenschappen garanderen dat W de structuur van een vectorruimte behoudt, opgeschaald naar een mogelijk kleiner subgebied van V.

Een onderruimte kan ook worden beschreven als het verzameling van alle lineaire combinaties van een bepaalde subset S van V, oftewel W = span(S). Deze formulering maakt duidelijk dat onderruimten worden gegenereerd door viellen of meerdere vectoren en dat elke onderruimte door een basis kan worden gerepresenteerd.

Voorbeelden: in R^3 is de verzameling van alle vectoren met derde coördinaat gelijk aan nul een onderruimte (een vlak door de oorsprong). De verzameling van alle veelvouden van een vaste vector vormt een lijn door de oorsprong en is eveneens een onderruimte. In het algemeen heeft elke onderruimte een dimensie, gelijk aan het aantal vectoren in een basis van W; deze dimensie is kleiner dan of gelijk aan die van V.

Eigenschappen: de doorsnede van onderruimten is weer een onderruimte; de som van onderruimten is de kleinste onderruimte die beide bevat. De concepten van onderruimten spelen een centrale rol in lineaire algebra, onder meer bij de studie van kerntoepassingen, afbeeldingen en quotienten.