nulliteit

Nulliteit is in lineaire algebra de dimensie van de kernel, ook wel nulruimte genoemd, van een lineaire transformatie T: V → W. De kernel bestaat uit alle vectoren v in V met T(v) = 0. Voor een matrix A is de kernel de verzameling oplossingen van Ax = 0; de nulliteit van A is de dimensie van deze oplossingruimte.

Bij eindig-dimensionale vectorruimten geldt de rang-nulliteitsstelling: dim(V) = rank(T) + nullity(T). Voor een m×n-matrix A over een veld F geldt rank(A) = dim(col(A)) en nulliteit(A) = n - rank(A). Dit houdt ook in dat nulliteit gelijk is aan het aantal vrije variabelen in de homogene stelsel Ax = 0.

De kernel is een lineaire subruimte van V. Een grote nulruimte betekent meer vrijheid in de oplossingen van Ax = 0; is de nulliteit nul, dan is T injectief (alleen het nulvector ligt in de kernel).

Computatie: door Gauss-eliminatie breng je A terug naar rij-echelonvorm of gereduceerde rij-echelonvorm. De kolommen met leidende getallen vormen de pivots; het aantal pivots is de rank. De overige variabelen zijn vrij en kun je uitschrijven in basisvectoren; de oplossing Ax = 0 levert een basis voor de nullruimte.

Toepassingen: nulruimte komt voor bij het oplossen van homogene systemen, bij het beoordelen van injectiviteit van lineaire transformaties en bij dimensie-argumenten in lineaire algebra; het speelt ook een rol in meer abstracte contexten zoals in module-theorie.