injectief

Injectief is een eigenschap van een functie in de wiskunde, ook wel een één-op-één-functie genoemd. Een functie f van een verzameling A naar een verzameling B is injectief als verschillende elementen van A altijd naar verschillende elementen van B worden gestuurd. Formeel: f is injectief als voor alle x, y in A geldt: f(x) = f(y) ⇒ x = y. Even ter vergelijking: x ≠ y impliceert f(x) ≠ f(y).

Een injectieve werking houdt in dat de afbeelding f(A) een exacte duplicaatvrije representatie van A vormt. Een veelgebruikt equivalent criterium is: voor alle x, y in A met x ≠ y geldt f(x) ≠ f(y). Een injectieve functie heeft een linker inverse: er bestaat een functie g: B → A zodat g(f(a)) = a voor alle a in A. In die zin kan f worden teruggezocht in A vanaf zijn beeld.

Voorbeelden helpen het begrip:

- Voorbeeld van injectief: f: {1, 2, 3} → {a, b, c} met f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c is injectief.

- Voorbeeld van niet-injectief: f: {1, 2, 3} → {0, 1} met f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 0 is niet injectief omdat f(1) = f(3) maar 1 ≠ 3.

Relaties en toepassingen: een functie kan injectief zijn zonder surjectief te zijn, en omgekeerd andersom. Een bijectieve functie is zowel injectief als surjectief. In lineaire algebra is een lineaire transformatie injectief als en slechts als de enige vector in de kern de nulvector is. In categorieën komen monomorfismen overeen met injectieve functies in de categorie van verzamelingen.

Zie ook: surjectief, bijectief, inverse.