Matrixberekeningen

Matrixberekeningen verwijst naar het uitvoeren van bewerkingen met matrices, een kernonderdeel van de lineaire algebra. Ze vormen een fundamenteel hulpmiddel bij het modelleren van systemen van lineaire vergelijkingen, bij lineaire transformaties en bij het verwerken van ingangen en data in uiteenlopende vakgebieden zoals natuurkunde, techniek, computerwetenschap en economie.

Belangrijke bewerkingen zijn optelling en aftrekking van matrices, product van matrices en vectoren, transponeren en inverse (omkering), en determinantberekening. Voor het oplossen van systemen Ax=b wordt gewoonlijk Gauss-eliminatie toegepast of de inverse via LU-decompositie. Voor symmetrische, positief-definite matrices is de Cholesky-decompositie efficiënt. Bij overbestemde systemen (meer variabelen dan vergelijkingen) komt vaak de QR-decompositie of de Moore-Penrose-pseudo-inverse terecht.

Numerieke aspecten spelen een grote rol bij matrixberekeningen. Veelgebruikte algoritmen zijn afhankelijk van de precisie van beschikbare getallen en brengen afrondingsfouten met zich mee. Het condition number van een matrix geeft aan hoe gevoelig een oplossing is voor kleine veranderingen in de invoer. Fout- en stabiliteitsanalyse is cruciaal bij choose van algoritme en interpretatie van resultaten. Voor grote, sparse matrices worden vaak iteratieve methoden gebruikt, zoals Jacobi, Gauss-Seidel en de conjugate gradient-methoden, die vaak minder geheugen vereisen en sneller kunnen zijn dan directe methoden.

Toepassingen van matrixberekeningen komen voor in computergraphics, simulaties, data-analyse, statistiek en machine learning. Ze worden ondersteund door wiskundige software en bibliotheken zoals LAPACK en NumPy, die gestandaardiseerde implementaties van de belangrijkste algoritmen leveren.