Kurvenvarianten

Kurvenvarianten bezeichnet in der Mathematik und Geometrie verschiedene Formen von Kurven, die sich durch ihre Gleichungen, Parameterisierungen und Kontrollstrukturen unterscheiden. In Anwendungsfeldern wie CAD, Computergraphik, Navigation oder Typografie dienen sie dazu, glatte oder präzise Pfade zu modellieren, die sich in Krümmung, Genauigkeit und Editierbarkeit unterscheiden.

Zu den grundlegenden Varianten gehören lineare Polylinien (aus geraden Segmenten), Polynomkurven wie Bezier- und B-Spline-Kurven sowie deren rationalen Erweiterungen (NURBS). Kreisbögen, Ellipsen und andere Kegelschnitte bilden Konik-Kurven. Weiterhin gibt es spezialisierte Formen wie Hermite-Kurven (mit Tangentenangaben) oder Catmull-Rom-Splines, die aus Kontrollpunkten interpolieren. In der Praxis werden Kurven oft als parametrisierte Kurven r(t) mit t im Intervall [0,1] beschrieben.

Wichtige Eigenschaften unterscheiden Kurvenvarianten durch Grad, Knotenschema und Kontinuität: C0 (Funktionswerte stimmen überein), C1 (erste Ableitung ist zusammenhängend), C2, sowie G1/G2-Glättung, die sich auf die Verlaufsgüte der Krümmung auswirkt. In CAD/CG werden diese Parameter genutzt, um lokale Kontrolle zu erreichen, bei der sich Punkte vor allem benachbarte Segmente beeinflussen, oder globale Glättung, bei der Änderungen das gesamte Modell betreffen. Bei NURBS ermöglichen Gewichtungen (Rationalität) die exakte Reproduktion von Kreisen und Ellipsen.

Anwendungen: Design und Animation, 3D-Modellierung, Straßenbau (Clothoid- oder Spiralkrümmung), Robotik-Pfadplanung. Vor- und Nachteile: Bezier- und B-Spline-Kurven bieten hohe Flexibilität, jedoch kann die globale Änderung aufwendig sein; Catmull-Rom ist einfach zu handhaben, aber weniger konform mit konstanten Krümmungen über längere Abschnitte. Die Wahl hängt von gewünschter Gleichmäßigkeit der Krümmung, Lokalisierbarkeit der Bearbeitung und Rechenleistung ab.

Siehe auch: Bezier-Kurve, B-Spline, NURBS, Hermite-Spline, Catmull-Rom, Clothoid.