Parameterisierungen

Parameterisierung bezeichnet die Darstellung eines geometrischen Objekts durch Parameter. Dazu wird ein Parameterraum D ⊆ R^k mittels einer Abbildung Φ: D → R^n mit dem Objekt verbunden; das Objekt ist das Bild von Φ. Allgemein spricht man von einer glatten Parameterisierung, wenn Φ differenzierbar ist und ihr Differential eine geeignete Rangbedingung erfüllt. Parameterisierungen ermöglichen es, Kurven, Flächen und höherdimensionale Objekte durch Koordinaten zu beschreiben und mit Hilfe der Analysis zu untersuchen.

Beispiele: Eine Kurve in der Ebene erhält man durch γ: I → R^2, γ(t) = (x(t), y(t)). Ein bekanntes Beispiel ist der Einheitskreis γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π). Eine Fläche in drei Dimensionen lässt sich parametrisieren durch Φ: U ⊆ R^2 → R^3, etwa Φ(u,v) = (u, v, 0) für die Ebene oder eine sphärische Parametrisierung Φ(θ, φ) = (cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ). Regularität bedeutet hier, dass die partiellen Ableitungen ∂Φ/∂u und ∂Φ/∂v linear unabhängig sind, sodass der Tangentenraum eindeutig bestimmt ist. Man kann Parametrisierungen so wählen, dass der Parameter dem Bogenmaß entspricht, also mit Geschwindigkeit 1 unterwegs ist.

Reparametrisierung bedeutet, eine andere Parameterfolge zu wählen, z. B. durch eine diffeomorphe Veränderung t = f(s). Zwei Parametrisierungen beschreiben dasselbe Objekt, unterscheiden sich aber im Ablauf des Parameters. Parameterisierungen spielen eine zentrale Rolle in der Differentialgeometrie, insbesondere bei Mannigfaltigkeiten, der Flächenberechnung (Jacobi-Determinante), in der Numerik (Netzgenerierung, Oberflächenmodellierung) sowie in der Physik (Zeit- oder Ortsparameter). Typische Fallstricke sind Singularitäten (Rangverlust), Mehrdeutigkeit durch nicht injektive Parametrisierung und falsche Orientierung.