Kegelschnitte

Kegelschnitte, auch konische Schnitte genannt, sind die Kurven, die entstehen, wenn eine Ebene einen gleichförmigen, doppelten Kegel schneidet. Der Kegel hat eine Spitze und zwei Napppen, die nach oben und unten auslaufen. Die Form der Schnittkurve hängt von der Neigung der Ebene relativ zur Achse des Kegels ab.

Die bekannten Formen sind Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Ein Kreis entsteht, wenn die Ebene senkrecht zur Kegelachse verläuft. Eine Ellipse ergibt sich, wenn die Ebene schräg verläuft, aber nicht parallel zu einer Kegelschnur. Eine Parabel entsteht, wenn die Ebene parallel zu einer Generatrix des Kegels verläuft. Eine Hyperbel entsteht, wenn die Ebene beide Napppen schneidet. Der Kreis ist ein Spezialfall der Ellipse.

Degenerierte Fälle treten auf, wenn die Schnitte auf eine besonders geringe oder spezielle Weise durch den Scheitelpunkt des Kegels verlaufen. Dann können sich die Schnittkurven auf einen Punkt oder auf eine oder zwei Geraden reduzieren (zwei sich schneidende Geraden bei einem Doppelbruch).

Analytisch lassen sich Kegelschnitte durch Gleichungen in einer Ebene beschreiben. Kreis: x^2 + y^2 = r^2. Ellipse: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Parabel: y^2 = 4ax. Hyperbel: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. Kreis und Ellipse sind geschlossene Kurven; Parabel und Hyperbel sind unbeständig bzw. unendlich fortsetzbar.

Historisch wurden Kegelschnitte von Apollonios von Perge systematisiert; sie spielen eine zentrale Rolle in Geometrie, Algebra und Physik, etwa in der Beschreibung von Orbits und Optik.