Schnittkurve

Schnittkurve bezeichnet in der Geometrie die Kurve, die entsteht, wenn eine Fläche oder ein Körper mit einer Ebene geschnitten wird. Sie ist die Schnittmenge der beteiligten Geometrien, also S ∩ P, wobei S eine Fläche (oder Oberfläche) und P eine Ebene ist. Die Schnittkurve liefert den Querschnitt des Objekts an der angegebenen Ebene und beschreibt damit Konturen, Formen oder Profilverläufe an dieser Ebene.

Mathematisch lässt sich eine Schnittkurve folgendermaßen charakterisieren: Sei S eine Fläche in drei Dimensionen definiert durch F(x,y,z)=0, und sei P die Ebene ax+by+cz+d=0. Dann ist die Schnittkurve C = S ∩ P = {(x,y,z) | F(x,y,z)=0, ax+by+cz+d=0}. In vielen Fällen erhält man eine eindimensionale Kurve, die sich durch geeignete Parameter- oder Eliminationsverfahren in eine im Raum liegende Planar- oder Raumkurve überführen lässt. An Stellen, an denen der Flächennormalenvektor senkrecht zum Ebenenormalenvektor steht, ist die Schnittkurve glatt; in Grenzfällen können sich Degenerationen ergeben (leer, aus wenigen Punkten oder aus einer Geraden bzw. mehreren Geraden).

Beispiele veranschaulichen die Vielfalt: Der Schnitt einer Kugel x^2+y^2+z^2=R^2 mit einer horizontalen Ebene z=c ist ein Kreis. Die Schnittmenge eines Kegels oder einer Rotationsfläche mit einer Ebene liefert je nach Lage Ellipsen, Kreise, Parabeln oder Hyperbeln (Konik). Deutlich wird, dass Schnittkurven oft zur Analysevon Form, Struktur und Krümmung von Oberflächen genutzt werden.

Anwendungen finden sich in der Deskriptiven Geometrie, im technischen Zeichnen, CAD/CAM, Architektur und in der Differentialgeometrie, wo Schnittkurven helfen, Eigenschaften einer Fläche durch ihre Querschnitte zu untersuchen.