Flächennormalenvektor

Der Flächennormalenvektor einer glatten Fläche S im dreidimensionalen Raum ist ein Nicht-Null-Vektor n, der senkrecht zur Tangentialebene von S in einem Punkt p steht. Er gibt die Orientierung der Fläche an und ist zentral für Definitionskriterien und Berechnungen wie Flächen- und Fluxintegrale.

Ist S als Levelmenge einer glatten Funktion F definiert, also S = {x ∈ R^3 | F(x) = 0}, dann ist der Normalvektor an p gegeben durch die Gradientenrichtung ∇F(p). Der Vektor ∇F(p) ist senkrecht zur Tangentialebene und zeigt in Richtung steigender F.

Ist S parametrisiert durch eine Abbildung r(u,v) mit (u,v) in einem Gebiet D, dann spannen die Tangentialvektoren r_u = ∂r/∂u und r_v = ∂r/∂v die Tangentialebene auf. Das Normalenvektor-Feld ist n = r_u × r_v. Die Orientierung hängt von der Reihenfolge der Parameter ab; durch Normieren erhält man den Einheitsnormalenvektor n̂ = n/||n||.

Beispiele: Für die Kugel F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2−R^2 gilt ∇F=(2x,2y,2z), der Normalvektor zeigt nach außen. Bei der Standardparametrisierung der Kugel ist n̂ gleich dem Einheitsradiusvektor r/R.

Verwendungen: Flächennormalenvektoren werden in Flussberechnungen, dem Gaußschen Satz, in der Differentialgeometrie und in der Computergrafik (Normalen-Maps, shading) genutzt. In unregelmäßigen Flächen oder an Kanten ist der Normalvektor oft nicht eindeutig definiert, und bei Diskontinuitäten kann das Normalenfeld sprunghaft wechseln.