Gradientenrichtung

Gradientenrichtung bezeichnet in der Mathematik die Richtung, in der eine differenzierbare Funktion am schnellsten ansteigt. Für eine skalare Funktion f: R^n → R wird der Gradient ∇f als Vektor der partiellen Ableitungen defini: ∇f = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). Er gibt die Richtung des größten Anstiegs von f an einem Punkt an, und seine Länge entspricht dem maximalen Anstieg pro Einheitslänge in dieser Richtung.

Der Gradient ist zudem orthogonal zu den Niveaulinien der Funktion; das heißt, er steht senkrecht zu Bereichen konstanter Funktionswerte. An kritischen Punkten, wo ∇f = 0, kann f ein lokales Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt haben (unter geeigneten Bedingungen).

Die Orientierung des Gradienten hängt von der gewählten Metrik ab. Im Standard-Euklidischen Raum dient ∇f als Richtungsinformation zur Steigerung von f. In allgemeinerer Form spricht man vom Gradienten des Potentials mit der entsprechenden Metrik (Riemannsche Gradient). Die Directional derivative in einer Richtung u ergibt sich als D_u f = ∇f · u.

Anwendungen finden sich in der Optimierung (Gradientenverfahren wie Gradientenabstieg zur Minimierung, Gradientenaufstieg zur Maximierung), bei der Bestimmung der Richtung der stärksten Veränderung in Daten, in der Bildverarbeitung und in der Physik von Skalarfeldern.

Berechnung: Für Koordinaten x = (x1, ..., xn) erhält man die partiellen Ableitungen; in der Praxis werden oft analytische Ausdrücke hergeleitet oder finite Differenzen verwendet. In diskreten Problemen entspricht die Gradientenrichtung dem Vektor, der die schnellste Zunahme des Funktionswertes beschreibt.