Minimierung

Minimierung bezeichnet in Mathematik, Ökonomie und Informatik den Prozess, eine zu einem Problem gehörende Größe möglichst klein zu machen. Typisch ist die Minimierung einer Zielfunktion f(x) über einer Menge zulässiger Entscheidungen oder Zustände, oft unter Nebenbedingungen. Im Gegensatz zur Maximierung wird hier der kleinste mögliche Wert angestrebt.

In der Mathematik und Optimierung spricht man von Minima: ein Punkt x*, an dem f(x*) ≤ f(x) für alle zulässigen x gilt. Ein globales Minimum gilt über den gesamten Definitionsbereich, ein lokales Minimum nur in einer Umgebung. Zur Lösung werden analytische Verfahren (Ableitungen, Lagrange-Multiplikatoren), rein numerische Verfahren (Gradientenabstieg, Newton-Verfahren) oder spezialisierte Methoden für konvexe Probleme genutzt. Nebenbedingungen werden oft als Gleichungs- oder Ungleichungsrestriktionen formuliert; Fälle mit diskreten Entscheidungen führen zu kombinatorischer Minimierung.

In der Ökonomie und Betriebsforschung dient Minimierung der Reduktion von Kosten, Ressourcenverbrauch oder Risiko. Typische Probleme sind Kostenminimierung bei festgelegtem Output oder Berücksichtigung von Energie- und Umweltaspekten. In der Informatik erscheint Minimierung häufig als Code-Minimierung zur Reduktion der Dateigröße oder als Ressourcenminimierung in Systemen (Speicher, Energie). In der Regel zielt man darauf ab, Effizienz zu steigern oder Betriebskosten zu senken.

Historisch entstand Minimierung als Teil der Optimierungstheorie im 20. Jahrhundert, mit Entwicklungen in Analysis, Lineare Programmierung und später in rein numerischen Algorithmen. Anwendungsfelder reichen von Ingenieurwesen über Statistik bis zu Maschinellem Lernen, wo Verlustfunktionen minimiert werden.