Maximierung

Maximierung ist der Prozess, bei dem der größtmögliche Wert einer Größe unter gegebenen Randbedingungen gefunden wird. In Mathematik, Wirtschaftswissenschaften und Ingenieurwesen bezieht sich Maximierung typischerweise auf das Finden eines Maximums einer Zielgröße, zum Beispiel einer Funktion oder eines Nutzens, unter festgelegten Einschränkungen. Der Begriff gehört zur breiteren Disziplin der Optimierung; oft werden Maximierung und Minimierung zusammen unter dem Oberbegriff Optimierung behandelt.

Formulierung: Gegeben eine Funktion f: X -> R, soll f(x) maximiert werden über x in X, möglicherweise unter Nebenbedingungen wie gi(x) ≤ 0 und hj(x) = 0. Eine Lösung x* heißt Maximumsstelle, wenn f(x*) ≥ f(x) für alle x in X gilt. Oft unterscheidet man zwischen unbegrenzten, eingeschränkten oder diskreten Problemen.

Methoden: Rechnerisch erfolgen Maximierungen häufig durch Analysis, zum Beispiel durch das Finden von Stellen, an denen der Gradient von f verschwindet, und durch die Überprüfung der Hesse-Matrix, um maximale Eignung zu bestätigen. Bei Einschränkungen kommen Lagrange-Multiplikatoren oder KKT-Bedingungen zum Einsatz. Bei konvexen Problemen ist bei konvexer Zielfunktion und konvexem Zulässigkeitsbereich jedes lokale Maximum global. In diskreten oder ganzzahligen Problemen kommen Verfahren wie Branch-and-Bound, dynamische Programmierung oder heuristische Ansätze zum Einsatz.

Beispiele: Eine einfache Funktion f(x) = -(x-2)² + 5 besitzt ihr Maximum von 5 bei x = 2. In der Wirtschaft lässt sich eine Gewinnfunktion π(q) = Erlös(q) − Kosten(q) maximieren, eventuell unter Kapazitätsbeschränkungen.

Anwendungen und Verwandtes: Maximierung wird in Statistik (Maximum-Likelihood-Schätzung), Ökonomie (Nutzen- und Gewinnmaximierung) sowie Ingenieurwesen und maschinellem Lernen eingesetzt.