Sattelpunkt

Sattelpunkt ist ein Begriff aus der Mathematik und der Spieltheorie, der in der Regel auf Funktionen zweier oder mehrerer Variablen bezogen wird. Er bezeichnet einen Punkt auf der Graphfläche einer Funktion, an dem weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vorliegt, obwohl dort die Steigung in allen Richtungen verschwindet. Typischerweise hat die Funktion in einer Richtung eine positive Krümmung und in einer anderen Richtung eine negative Krümmung, weshalb die Oberfläche wie ein Sattel aussieht.

In der mehrdimensionalen Analysis gilt: Ein Punkt x0 ist ein Sattelpunkt von f, wenn der Gradient von f dort verschwindet (∇f(x0) = 0) und die Hessematrix Hf(x0) eine einerseits positive und andererseits negative Eigenwerte besitzt (Hf ist frei von Definitheit, also indefinit). Ist die Hessematrix positiv oder negativ semidefinit, kann der Test unentschieden bleiben oder weitere Analysen erforderlich machen. In einem Spezialfall, etwa bei f(x,y) = x^2 − y^2, liegt der Sattelpunkt bei (0,0); entlang der x-Achse nimmt die Funktion zu, entlang der y-Achse ab.

Sattelstellen spielen auch in der Optimierung eine Rolle: Sie sind potenzielle Stationärpunkte, die kein lokales Extremum darstellen und daher bei der Suche nach Minima oder Maxima oft weiter untersucht werden müssen. In der Spieltheorie bezeichnet man als Sattelpunkt eine Strategiepaardarstellung, bei der der Wert des Spiels durch Minimierungs- und Maximierungsoperationen erfüllt ist (Minimax-Gleichgewicht), insbesondere in Nullsummenspielen. Hier entspricht der Sattelpunkt einer stabilen Sicherheitslinie beider Spieler.

Zusammengefasst handelt es sich um einen kritischen Punkt mit gemischter Krümmung, der weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum darstellt.