Sattelstellen

Sattelstellen sind kritische Punkte einer glatten Funktion mehrerer Variablen, an denen der Gradient verschwindet, der Punkt aber weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum ist. Mathematisch lässt sich dies oft über die Hesse-Matrix Hf an der Stelle bestimmen: Ist Hf indefinit, das heißt hat sie sowohl positive als auch negative Eigenwerte, dann handelt es sich typischerweise um eine Sattelstelle; positive bzw. negative Definitheit deuten auf ein lokales Minimum bzw. Maximum hin.

In der Geografie bezeichnet man Sattelstellen auch als Sattelpass oder Bergsattel: eine niedrigere Stelle zwischen zwei Gipfeln, die als Querroute durch das Gebirge dient und kein Extrempunkt der Höhenfunktion darstellt.

In der Physik und Chemie erscheinen Sattelstellen auf Potentialenergieoberflächen als Übergangszustände zwischen Energieminima, zum Beispiel bei Reaktionen. Sie kennzeichnen Barrieren, über die Reaktionspfade führen, und weisen meist eine negative Eigenrichtung der Hesse-Matrix auf.

Bei Optimierungsproblemen stellen Sattelstellen eine Herausforderung dar: Gradientenabstieg neigt dazu, in einer Sattelstelle zu verharren. Spezielle Methoden nutzen Informationen aus der negativen Eigenrichtung oder folgen Pfaden, um Minima oder Reaktionspfade zu erreichen.

Beispiel: Die Funktion f(x,y) = x^2 − y^2 hat an (0,0) eine Sattelstelle: Entlang der x-Achse steigt der Funktionswert, entlang der y-Achse fällt er.

Siehe auch: Sattelpunkt, Hessische Matrix, Optimierung, Übergangszustand, Höhengleichung.