Interpolatiealgoritmen

Interpolatiealgoritmen zijn wiskundige methoden om uit een verzameling bekende datapunten een functie te construeren die door alle punten gaat of een zo goed mogelijke benadering daarvan biedt. Ze worden gebruikt om tussen waarnemingen waarden te schatten en om de onderliggende patronen van een verschijnsel te modelleren. Interpolatie gaat daarbij uit van voldoende nabijheid van de data en onderscheidt zich van extrapolatie die buiten het onderzochte interval ligt.

Globale interpolatie gebruikt alle datapunten om één globale functie te vormen, zoals bij polynoominterpolatie (Lagrange of Newton) of barycentrische formuleringen. Lokale interpolatie bouwt daarentegen interpolerende functies per interval, wat vaak leidt tot betere stabiliteit en plaatselijke aanpasbaarheid. Voorbeelden zijn lineaire interpolatie en kubische spline-interpolatie.

Bekende algoritmen zijn: Lagrange-interpolatie en Newtons verdeeldheidsinterpolatie, Neville’s algoritme en barycentrische Lagrange-interpolatie. Splines omvatten kubische splines, natuurlijke of gekrorde splines en B-splines. Deze methoden verschillen in stabiliteit, gladheid en het gemak van implementatie; splines leveren doorgaans vloeiendere resultaten en minder Runge-verschijnsel bij grotere datasets.

Belangrijke overwegingen zijn nauwkeurigheid, stabiliteit en conditionering. Hoge-orde globale polynomen kunnen oscilleren (Runge-verschijnsel) en ill-conditionering veroorzaken. Lokale methoden zoals splines verminderen dit risico. De complexiteit van implementaties varieert, vaak van O(n) tot O(n^2) per interpolatiepunt, afhankelijk van de gekozen methode en dataorganisatie. Foutschattingen hangen af van de gladheid van de oorspronkelijke functie en de orde van de interpolant.

Toepassingen bevinden zich in data-analyse, signaal- en beeldverwerking, kaart- en beeldresampling, computergrafiek, numerieke oplossingen van differentiaalvergelijkingen en geostatistiek. Multivariate interpolatie breidt deze concepten uit naar meerdere variabelen.

---