Lagrangeinterpolatie

Lagrange-interpolatie is een methode uit de numerieke analyse om een veelterm te vinden die door een gegeven verzameling punten (x0, y0), ..., (xn, yn) loopt, waarbij alle xi verschillend zijn. Er bestaat precies één polynoom P van graad maximaal n met P(xi) = yi voor alle i. De interpolerende veelterm kan in de Lagrange-vorm worden geschreven als P(x) = sum_{i=0}^n yi li(x), waarbij li(x) = product over j≠i van (x − xj) / (xi − xj). De basispolynomen li noemen men de Lagrange-basispolynomen; ze hebben de eigenschap li(xj) = 0 voor j ≠ i en li(xi) = 1, waardoor P(xi) = yi volgt.

Een veelgebruikte variant is de barycentrische Lagrange-interpolatie, die numeriek stabiel en efficiënt is voor evaluatie. Daarbij wordt P(x) uitgedrukt als P(x) = [sum_i wi yi/(x − xi)] / [sum_i wi/(x − xi)], met weights wi = 1 / prod_{j≠i} (xi − xj). Bij x = xi wordt P(xi) gelijk aan yi verklaard door de limiet.

Eigenschappen en toepassingen: Lagrange-interpolatie levert een unieke interpolerende veelterm van graad ≤ n door n+1 gegeven punten en is daarmee breed inzetbaar in data-analyse, modellering en reconstructie van functies. Een nadeel is gevoeligheid voor oscilaties bij veel punten of slecht gekozen knooppunten, wat het Runge-verschijnsel kan veroorzaken. Om dit te voorkomen worden vaak alternatieven gebruikt, zoals Newton-interpolatie of de barycentrische vorm met zorgvuldig gekozen knooppunten.