Lagrangevorm

Lagrangevorm is een veeltermrepresentatie van een interpolerende polynoom, genoemd naar Joseph-Louis Lagrange. Gegeven knopen x_0, …, x_n met bijbehorende waarden y_0, …, y_n, waarbij de knopen verschillend zijn, zoekt men een veelterm P van graad ten hoogste n die door alle gegeven punten gaat, dus P(x_i) = y_i voor elk i.

In de Lagrangevorm wordt P geschreven als P(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x), waarbij L_i(x) = product over j ≠ i van (x - x_j) / (x_i - x_j). Kenmerkend is dat L_i(x_j) gelijk is aan 0 wanneer j ≠ i en L_i(x_i) gelijk is aan 1, zodat P(x_i) = y_i volgt uit P(x_i) = sum y_j L_j(x_i).

Voordelen en toepassingen: de Lagrangevorm levert direct een interpolerende veelterm op met duidelijke knoopafhankelijke basisfuncties. De coëfficiënten hangen alleen af van de knopen en niet van de y-waarden. Nadelen zijn onder meer de hoge rekenbelasting en numerieke instabiliteit bij veel knopen, waardoor evaluatie traag kan zijn. Daarom wordt vaak de barycentrische vorm gebruikt, die evaluatie efficiënter maakt.

Relaties en afwijkingen: de Lagrangevorm is verwant aan andere vormen van interpolatiepoly’s, zoals de Newton-vorm, en kan bestaan of worden omgezet tussen vormen. De Lagrangevorm is ook gevoelig voor het Runge- fenomeen bij equidistante knopen, wat kan leiden tot ambitieuze foutprofielen bij hoge graad polynomen.

Samenvattend biedt de Lagrangevorm een eenvoudige, directe manier om een interpolerende polynoom te construeren vanaf gegeven punten, met aandacht voor computationele efficiëntie en numerieke stabiliteit bij grotere datareeksen.