polynoominterpolatie

Polynoominterpolatie is een methode in wiskunde en numerieke analyse om een polynoom te bouwen die door een gegeven verzameling punten gaat. Gegeven n+1 paren (x_i, y_i) met elk x_i verschillend, bestaat er uniek een polynoom P van graad maximaal n met P(x_i) = y_i voor alle i. Zo’n polynoom is een interpolant van de data.

Er zijn verschillende vormen om P uit te drukken. In de Lagrange-vorm is P(x) = ∑ y_i L_i(x), waarin L_i(x) = ∏_{j≠i} (x - x_j)/(x_i - x_j). Elke L_i(x) is een basispolynoom die voldoet aan L_i(x_j) = δ_{ij}. De Newton-vorm schrijft P als P(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... met de a_k als gedeelde verschillen (divided differences). De constante a_0 = y_0 en de overige a_k worden via een recursief schema berekend.

Computatie en stabiliteit: het berekenen van de interpolant via gedeelde verschillen kost meestal O(n^2). Een veelgebruikte variant is de barycentrische Lagrange-interpolatie, die evaluatie mogelijk maakt in O(n) tijd met stabieler gedrag. Voor rijen met evenwichtig verdeelde knopen kan interpolatie leiden tot Runge-verschijnselen; het kiezen van Knopen zoals Chebyshev-knopen kan dit beperken.

Fout en toepasbaarheid: als f voldoende glad is en x_i in een interval I liggen, geldt meestal een foutvorm f(x) - P(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · ∏_{i=0}^n (x - x_i) voor sommige ξ in I. Polynoominterpolatie wordt veel gebruikt in datafitting, numerieke integratie, grafische reconstructie en als bouwsteen in oplossingsmethoden voor differentiaal- en partiële-vergelijkingen.

Varianten bestaan voor polynomen in meerdere variabelen, maar de basisprincipes blijven: een polynoom die door gegeven punten gaat en uniek is onder de voorwaarde van verschillende abscissen.