tweelichaamsprobleem

Het tweelichaamsprobleem is een grondslagprobleem uit de klassieke mechanica dat de beweging beschrijft van twee puntlichamen die onderling met elkaar interageren, meestal via een centrale inverse-kwadraat kracht zoals zwaartekracht of elektrostatische kracht. In de meest bestudeerde variant gaat het om twee massa’s die elkaar aantrekken of afstoten, terwijl geen externe krachten werken.

Het probleem kan worden opgesplitst in twee onderdelen door gebruik te maken van het zwaartepunt. Het zwaartepunt R beweegt met constante snelheid (vrijheidsbeweging). De relatieve positie r = r1 − r2 voldoet aan een eenvoudige, effectieve éénlichamsproblematiek: μ r¨ = −G m1 m2 / r^2 r̂, wat equivalgeert aan een deeltje van massa μ onder een centrale potentiële kracht met parameter GM(m1 + m2). Hier is μ = m1 m2 /(m1 + m2) de verminderde massa en GM het gravitatieparameter.

De beweging is planar en de oplossing noemt men een conische sectie. Voor gebonden banen is de baan een ellipse (cirkel als speciale case); voor ongebonden banen zijn het parabool of hyperbool. De baan wordt bepaald door de energie ε = (1/2) v^2 − GM/r en het hoeksnelheidsmoment h = |r × v|. De klassieke baanafstand in polaire coördinaten geldt 1/r = (GM/h^2)[1 + e cos θ], waarbij e de excentriciteit is, e = sqrt(1 + 2 ε h^2 /(GM)^2). Hiermee wordt de vorm van de baan afgeleid uit de begincondities.

Daarnaast evolueert het zwaartepunt R onafhankelijk (beinend tot een rechte lijn met constante snelheid), waardoor het twee-lichamenprobleem volledig in twee afzonderlijke, oplosbare delen decoupleert. Het probleem is integrabel in de Newtoniaanse theorie; bij toevoeging van meer lichamen of relativistische correcties geldt meer complexe dynamica. toepassingen zijn onder meer hemelmechanica, ruimtevaart en astrofysica.