tweelichamenprobleem

Het tweelichamenprobleem is een klassiek probleem uit de klassieke mechanica dat gaat over de beweging van twee puntmassa’s die onderlinge krachten op elkaar uitoefenen die uitsluitend afhangt van hun onderlinge scheiding. Het is het prototypische voorbeeld van een zuiver centrale kracht en is in de zwaartekrachtgevallen exact oplosbaar.

Wiskundig wordt het probleem beschreven door de bewegingen van massa’s m1 en m2 met respectievelijke posities r1 en r2. De leptonen volgen Newtons wetten: m1 a1 = F(r1, r2) en m2 a2 = -F(r1, r2), waarbij F afhangt van de afstand r = r1 − r2 en hierdoor een centrale kracht is. Door gebruik te maken van het zwaartepuntcoördinatensysteem kan men de beweging splitsen in een vrij beweging van het zwaartepunt en een relatieve beweging van één lichaam ten opzichte van het andere. De relatieve beweging voldoet aan μ d^2r/dt^2 = −∇V(r), waarbij μ = m1 m2 /(m1+m2) de gereduceerde massa is en V(r) het potentiaal is; bij zwaartekracht is V(r) = −G m1 m2 / r. De hoekmomentum en de energie van het systeem zijn constante waarden.

Oplossingen: Voor inverse-kwadraat krachten ligt de relatieve beweging in een vlak en verloopt deze langs conische secties (cirkel, ellips, parabool of hyperbool). Voor gebonden toestanden is de orbit elliptisch (met een enige fokale as waar het zwaartepunt zit). De lineaire combinatie van de relatieve beweging en de beweging van het zwaartepunt beschrijft volledig de twee-lijkarakteristiek van het systeem; het zwaartepunt beweegt uniform in rechte lijn.

Invloed en afbakening: Het tweelichamenprobleem vormt de basis voor hemelmechanica en astrodynamica, omdat het voor centrale krachten exact oplosbaar blijft, in tegenstelling tot het algemene N-lichaamprobleem, dat vaak niet in gesloten vorm kan worden opgelost en chaotisch gedrag kan vertonen.