projectief

Projectief is een Nederlands bijvoeglijk naamwoord dat betrekking heeft op projectie en, in de wiskunde, op projectieve meetkunde en gerelateerde concepten. Een eigenschap, structuur of transformatie wordt projectief genoemd wanneer zij bewaard blijft onder projectieve transformaties—een brede klasse kaarttransformaties die lijnen naar lijnen sturen en incidentie behouden, terwijl afstanden en hoeken doorgaans veranderen.

In de wiskunde is een projectieve ruimte P^n over een veld F een ruimte van lijnen door de oorsprong in F^(n+1), met punten voorgesteld door homogene coördinaten [x0: x1: ... : xn], waarbij twee representaties hetzelfde punt voorstellen als zij dezelfde lijn door de oorsprong representeren (schaal). Een projectieve transformatie (homografie) is een automorfisme van P^n en kan worden voorgesteld door een niet-singuliere (n+1)×(n+1) matrix, wat in 2D resulteert in een 3×3 matrix die punten afbeeldt in homogeneous coordinates.

Projectieve eigenschappen zoals de kruissverhouding van vier collineaire punten blijven onveranderd onder projectieve transformaties. Projectieve meetkunde bestudeert lijnen, vlakken en hun incidenties onder deze transformaties, en maakt gebruik van dualiteit tussen punten en lijnen.

Toepassingen van projectie komen onder meer voor in perspectieftekenen, computer vision en beeldvorming. In perspectieftekenen wordt een 3D-scène met een projectieve transformatie op een 2D beeldvlak gemodelleerd; in computer vision en fotogrammetrie worden projectieve transformaties gebruikt om beelden te koppelen, 3D-structuren af te leiden en camera-parameters te modelleren.

Terminologie: in het Nederlands wordt vaak gesproken van projectieve meetkunde voor de discipline, projectieve transformatie voor de transformatie en projectieve ruimte voor de ruimte P^n.