inseparabel

Inseparabel, vaak vertaald als inseparabiliteit, is een term uit de wiskunde die aangeeft dat een velduitbreiding of een morfisme niet separabel is. In deze context betekent separabiliteit dat de bijbehorende polynomen en differentiaalinformatie voldoende onderscheidend zijn; inseparabiliteit treedt op wanneer dat onderscheid ontbreekt in karakteristiek p > 0.

In veldtheorie beschrijft inseparabiliteit een uitwisseling van velden waarbij sommige elementen voldoen aan polynomen met meerdere wortels, of waarbij de afgeleide van het minimale polynoom identiek nul is. Voor eindige uitbreidingen kan men de inseparabelegraad bepalen; een puur inseparabele uitbreiding is zo opgezet dat elk element van de grotere velden een polynoom heeft van de vorm X^{p^n} - a over het kleinere veld. Een bekend voorbeeld is F_p(t^p) ⊂ F_p(t), een puur inseparabele uitbreiding van graad p.

In de algebraïsche meetkunde beschrijft men een morfisme f: X → Y van variëten of schijven over een veld van karakteristiek p > 0 als inseparabel wanneer de extensie van functievelden F(Y) → F(X) inseparabel is. Een inseparabel morfisme kan bijvoorbeeld het differentiaal van f doen dimineren of verdwijnen op een dense open subset, terwijl separabele (of étale) morfismen doorgaans beter te bestuderen zijn door hun ramificatie- en differentiaalgedrag.

Samengevat geeft inseparabiliteit aan hoe polynomen en differentiaalinformatie in aanwezigheid van een positieve karakteristiek het onderscheid tussen elementen en morfismen beïnvloeden. Zie ook: separable, puur inseparabel, Frobenius-morfisme, étale, velduitbreiding, Galois-theorie.