Frobeniusmorfisme

Frobeniusmorfisme is een essentiële constructie in algebraïsche meetkunde en algebra in positieve karakteristiek. Voor een schema X over een ring met karakteristiek p > 0 is het absolute Frobenius F_X: X -> X de identiteit op de topologische ruimte en geeft het op elk open toepassingsgebied U een morfisme van schijven O_X(U) -> O_X(U), f |-> f^p. Met andere woorden, het laat de functies op X p-de macht ontstaan. Dit morfisme is functorieel en speelt een centrale rol bij het bestuderen van schematische eigenschappen in karakteristiek p.

Er bestaat ook een relatieve versie, het relatieve Frobenius F_{X/S}: X -> X^{(p)}. Hier is S de basis en X^{(p)} de base-change van X via de Frobenius op S. De relatieve Frobenius meet hoe ver X afwijkt van een isomorfisme na het p-voudige klonen over de basis. Het is doorgaans een eindige morfisme en radiaal (radicial), en levert een puur inseparabele extensie op residuevelden.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat het absolute Frobenius altijd een universele homeomorfisme is (en radiaal), en dat het relatieve Frobenius eindig is, met een typische graad van p^{dim X} wanneer X een glad over een veld k van karakteristiek p is. Niet elke Frobenius-morfisme is een isomorfisme; het functioneren ervan geeft wel informatie over de structuur van X in karakteristiek p, zoals bij Frobenius-splitsing en gerelateerde theorieën.

Toepassingen omvatten onder meer de studie van Frobenius-splitsing, tight closure, en F-regulariteit in commutatieve algebra; in cohomologieën levert de Frobenius actie belangrijke informaties bij het begrip van structuur en resoluties in positieve karakteristiek.

Samenvattend is de Frobeniusmorfisme een fundamenteel hulpmiddel om eigenschappen en fenomenen in algebraïsche variëteiten en schema’s in karakteristiek p te begrijpen.