Galoistheorie

Die Galoistheorie, auch Galois-Theorie genannt, ist ein Bereich der Algebra, der die Verbindung zwischen Polynomgleichungen und der Symmetrie ihrer Wurzeln untersucht. Zentrales Werkzeug ist die Galoisgruppe, eine Gruppe von Automorphismen eines geeigneten Körpererweiterungsfeldes, die die Wurzeln festlässt. Die Theorie erklärt, warum manche Gleichungen sich durch Radikale lösen lassen und andere nicht. Sie wurde von Évariste Galois in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelt und später von anderen Mathematikern, insbesondere Liouville, systematisiert. Ein Hauptziel ist zu bestimmen, unter welchen Bedingungen eine Gleichung mit endlichem Grad durch eine endliche Anzahl von Radikalen gelöst werden kann.

Zentrale Begriffe sind Körpererweiterungen, Splittingfeld, Normalität und Separabilität. Zu einer gegebenen Polynomgleichung f über einem Körper F wird das Splittingfeld E über F betrachtet, das alle Wurzeln von f enthält. Die Galoisgruppe Gal(E/F) besteht aus den Automorphismen von E, die F unverändert lassen. Nach dem Fundamentalsatz der Galoistheorie besteht eine gegenseitige Zuordnung zwischen Zwischenkörpern K (F ⊆ K ⊆ E) und Untergruppen H von Gal(E/F): K ist der Fixpunktkörper von H, und H ist die Galoisgruppe von E/K. Außerdem gilt [E:F] = |Gal(E/F)| und [K:F] = |Gal(E/F)|/|H|.

Aus dieser Korrespondenz folgt, dass die Möglichkeit, eine Gleichung durch Radikale zu lösen, genau dann gegeben ist, wenn die Galoisgruppe lösbar ist. Beispiele: Quadratische Gleichung – Galoisgruppe ist Z/2, Lösung durch Radikale. Allgemein gilt: Für n ≥ 5 ist die allgemeine Polynomgleichung nicht durch Radikale lösbar, da die Gruppe S_n nicht lösbar ist. Anwendungen finden sich in der inversen Galois-Theorie, der Strukturierung von Zahlkörpern und in der algebraischen Geometrie.

Zu beachten ist, dass die Theorie primär für endliche, normale und separierbare Erweiterungen gilt; in der positiven Charakteristik treten inseparable Fälle auf, die eine Erweiterung des Konzepts erfordern.