Separabilität

Separabilität ist ein Begriff aus Topologie und Analysis. Ein topologischer Raum X ist separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge D besitzt. Eine Teilmenge D heißt dicht in X, wenn jeder offene Bereich von X von D getroffen wird oder äquivalent der Abschluss von D ganz X ist. In metrischen Räumen ist Seperabilität äquivalent zur Existenz einer abzählbaren Basis; konkret gilt in metrischen Räumen: separabel ⇔ second countable.

Beispiele und Folgen: Die reelle Linie R mit der üblichen Topologie ist separabel, denn die Menge der rationalen Zahlen Q ist dicht. Zugleich sind gängige Funktionsräume wie L^2[0,1], der Hilbertraum ℓ^2 und der Raum C[0,1] der stetigen Funktionen auf [0,1] mit der Supremumsnorm separabel. Allgemein sind viele Standard-Räume aus Analysis separabel.

Nicht-separierbare Räume: Es gibt auch Räume, die keine abzählbare dichte Teilmenge besitzen. Beispiele sind das Banachraum ℓ^∞ (die Raum der beschränkten Folgen) und L^∞(0,1) in der allgemeinen Form; ebenso Produkträume mit unendlich vielen Faktoren oder Produkträume über unzählige Indexmengen robust gegen Abzählbarkeit.

Verhältnis zu anderen Eigenschaften: In metrischen Räumen impliziert Separabilität Zweite Zählbarkeit; umgekehrt impliziert Zweite Zählbarkeit in metrischen Räumen ebenfalls Separabilität. In allgemein topologischen Räumen gilt diese Äquivalenz nicht automatisch. In der Analysis spielt Separabilität eine wichtige Rolle, weil sie oft die Dichte von abzählbaren Substrukturen ermöglicht; viele zentrale Räume der Funktionalanalysis (z. B. L^p für 1 ≤ p < ∞, L^2, ℓ^2, C(K) für kompakte metrische K) sind separabel.

Historisch bietet der Begriff eine Grundlage dafür, wie sich Räume durch abzählbare Mengen nähern lassen.