discretisatiefouten

Discretisatiefouten zijn fouten die ontstaan wanneer een continu wiskundig probleem, zoals een differentiaal- of integratieprobleem, wordt omgezet in een discretiseerd model voor berekening. Ze zijn een van de belangrijkste bronnen van fout bij numerieke berekeningen, naast afrondingsfouten door finite-precision arithmetic en onzekerheden in de invoer.

Bij discretisatie wordt het domein meestal opgesplitst in een rooster of mesh en worden afgeleide operatoren vervangen door discrete benaderingen zoals eindige verschillen, eindige elementen of spectrale methoden. Deze vervanging introduceert truncatiefouten die afhankelijk zijn van de maat van de discretisatie (bijv. het roosterhoogte h voor ruimtelijke discretisatie en de tijdstap Δt bij tijdafhankelijke problemen) en van de orde van de gebruikte methode.

De discretisatiefout is doorgaans het verschil tussen de exacte oplossing van het continue probleem en de oplossing van de discrete (gecodeerde) probleem. Met mesh-refinement en tijdsverlaging kan deze fout kleiner worden; volgens de principes van consistentie en stabiliteit (Lax-equivalentie) gaat de fout uiteindelijk naar nul voor een geschikt schematisch ontwerp.

Typen voorbeelden: bij finite-difference-methoden levert de fout een orde van p op, zoals fout ~ C h^p (bijv. p=2 voor centrale verschillen). Bij het eindige-elementen hangt de fout af van de mesh en de orde van de gebruikte polynomen. Fouten kunnen ook voortkomen uit incorrecte implementatie van randvoorwaarden of uit gebrek aan adaptiviteit.

Beheersing van discretisatiefouten gebeurt via meshrefinement, gebruik van hogere orde of adaptieve methoden, a priori en a posteriori foutschattingen, en zorgvuldige aanpak van stijfheidsproblemen en instabiliteiten.