Laxequivalentie

Laxequivalentie, ook bekend als de Lax–Richtmyer-stelling, is een fundamenteel resultaat in de numerieke analyse dat de relatie tussen stabiliteit, consistentie en convergentie van eind-differentie-schema’s voor lineaire beginwaardeproblemen beschrijft. Het werd ontwikkeld door Peter Lax en daarna verder uitgewerkt door Richtmyer (1956). De stelling geeft aan dat voor een lineair beginwaardeprobleem dat wel-gesteld (well-posed) is en voor een eind-differentie-schema dat lineair is en consistent is, convergentie precies overeenkomt met stabiliteit.

Formele interpretatie: Laat een lineair beginwaardeprobleem u_t = Au met bijbehorende beginvoorwaarde zijn en beschrijf dit met een eind-differentie-schema dat consistent is. Dan is het schema convergent als en alleen als het stabiel is. Convergentie betekent dat de numerieke oplossing naar de exacte oplossing nadert wanneer de tijdstap en ruimtelijke schalen (dt, dx) naar nul gaan. Stabiliteit betekent dat foutgroei van het numerieke systeem beperkt blijft; de fout blijft proportioneel aan de initiële fout (uniform in de discretisatie-parameters).

Definities in korte noten:

- Consistentie: de lokale truncatiefout van de discretisatie gaat naar nul bij dt, dx → 0.

- Stabiliteit: de fout blijft onder controle en groeit niet onbegrensd bij de evolutie in tijd.

- Convergentie: de totale fout tussen numerieke en exacte oplossing verdwijnt bij verfijning van het rooster.

Betekenis en toepassingen: de theorema biedt een praktisch criterium voor het ontwerpen van schema’s: als een scheme consistent is en stabiel blijkt, volgt convergentie. Het geldt vooral voor lineaire PDE’s en lineaire, welgedefinieerde discretisaties; bij nonlineariteit of niet-wel-gestelde problemen geldt de stelling niet in dezelfde vorm.