Probabiliteitstheorie

Probabiliteitstheorie is de wiskundige studie van kans en onzekerheid en vormt de formele basis voor statistische inferentie en besluitvorming onder onzekerheid. In de moderne opzet wordt meestal gewerkt met een kansruimte (Ω, F, P), waarbij Ω een verzameling mogelijke uitkomsten is, F een σ-algebra van gebeurtenissen en P een kansmaat die aan elke gebeurtenis E in F een getal tussen 0 en 1 toekent, met P(Ω) = 1 en additiviteit over disjuncte gebeurtenissen.

De Kolmogorov-axioma’s definiëren de opzet: P(E) ≥ 0 voor alle E in F, P(Ω) = 1, en P(⋃ Ei) = Σ P(Ei) voor elke verzameling disjuncte gebeurtenissen Ei. Een toevalsvariabele X is een meetbare kaart van de kansruimte naar de reële getallen; de verwachtingswaarde E[X] en de variantie Var(X) zijn centrale maatstaven voor het gemiddelde gedrag en de spreiding. Een kansverdeling kan beschreven worden via een kansmassafunctie voor discrete variabelen of via een kansdichtheidsfunctie voor continue variabelen. Discrete en continue verdelingen omvatten onder meer binomiaal, Poisson, normaal, exponentieel en uniform; deze worden vaak bepaald door de verdelingsfunctie of de karakteristieke functies.

Belangrijke resultaten zijn onder meer de wet van grote aantallen en de centrale limietstelling, die respectievelijk de langetermijngedrag en de vorm van de verdeling van sommen van onafhankelijke variabelen beschrijven. Bayesiaanse kansrekening biedt een methode voor het bijwerken van onzekerheden na observaties. Verder behandelt de theorie stochastische processen zoals Markov-ketens en Brownse beweging. Toepassingen bevinden zich in statistiek, wetenschap, financiën, informatica en risicobeoordeling.

Historisch gezien werd de rigoureuze formulering van de axioma’s in 1933 door Kolmogorov ontwikkeld, met vroege bijdragen van onder meer Bernoulli en Laplace.