Aperiodiciteit

Aperiodiciteit is het ontbreken van periodiek gedrag in een object of systeem. In wiskunde en gerelateerde vakgebieden verwijst het naar het afwezig zijn van een niet-nul periode waarmee het object naar zichzelf verschuift onder een bepaalde transformatie, zoals een translatie. Met andere woorden, een aperiodisch object vertoont geen exacte herhaling met een vaste stapgrootte.

In getallenreeksen en functies betekent periodiciteit dat er een positief getal p bestaat waarbij de reeks of functie na elke p-stap identiek herhaalt. Een aperiodische reeks herhaalt zich dus niet op zo’n eenvoudige, eindige manier. Er zijn ook concepten zoals “eventueel periodiek”, waar een verschuiving naar een periodieke vorm op den duur optreedt; aperiodiciteit houdt dit uitgesloten.

Een belangrijke toepassing van aperiodiciteit komt voor bij tilings van de vlak. Een aperiodisch tegelsysteem bestaat uit een beperkt set tegels met voorschriften die ervoor zorgen dat elke geldige vulling van het vlak geen translational symmetry heeft. Een bekend voorbeeld is de Penrose-tiling, die deterministisch is maar geen enkel translatie-verschoven beeld van dezelfde tiling oplevert. Aperiodische tilingen leveren vaak een verrassende lange-afstandsorde op zonder periodieke herhaling.

In de dynamische systemen verwijst een aperiodisch punt naar een punt waarvan de orbit onder een transformatie geen herhaling vertoont. Aperiodiciteit kan ook voorkomen in de natuurkunde, bijvoorbeeld in de context van quasicrystals. Deze ordeningen hebben langeafstand-orde zonder een periodiek rooster, en ze leveren scherpe diffractiepieken op ondanks het ontbreken van periodieke translatie-symmetrie.

Samengevat verwijst aperiodiciteit naar afwezigheid van een vaste herhaling, terwijl de structuur toch vaak een hoogmate van orde en determinisme kan bezitten.