deltafunctie

Deltafunctie, in het Nederlands meestal de Dirac-delta genoemd, is een distributie of generaliseerde functie die als ideale impuls fungeert. Het is geen gewone functie: δ heeft geen duidelijke waarde op elk punt in de traditionele zin, maar wordt gedefinieerd door zijn integraal eigenschappen. Voor elke geschikte testfunctie f geldt de sifting-property: ∫_{-∞}^{∞} δ(x-a) f(x) dx = f(a). In de zin van distributies is δ(x) nul voor x ≠ 0 en heeft het integraal over het hele veld gelijk aan 1.

Een gebruikelijke intuïtie is dat δ wordt gezien als een piek met oneindige hoogte en nul breedte die toch een area van 1 behoudt. Uit deze interpretatie volgt: δ kan worden benaderd als limiet van functies met area 1 die steeds nauwer worden, bijvoorbeeld een Gauss-functie met σ → 0.

Eigenschappen en transformaties: De Fourier-transform van δ(t) is constant gelijk aan 1, waardoor δ fungeert als een universele splijtlaag in de frequentieruimte. Bij een verandering van variabele g(x) met simpele wortels x_i geldt δ(g(x)) = ∑ δ(x−x_i)/|g′(x_i)|. In meerdere variabelen geldt δ^n( x ), en de integratie ∫ δ^n(x) φ(x) d^n x = φ(0) bepaalt hoe δ testfuncties “samplet”.

Toepassingen: In signaalverwerking is δ de impulsrespons van een systeem; in de natuurkunde modelleren puntbronnen of puntladingen. In wiskundige analyse dient δ als kern in convolutie en als Green’s-functie voor oplossingsmethoden in veldproblemen.

Zie ook: Dirac-delta, distributies, Schwartz-distributies.