testfunctie

Een testfunctie is een functie die in de wiskundige analyse wordt gebruikt om eigenschappen van andere objecten te onderzoeken, zoals distributies, functies of operatoren. Typisch is een testfunctie glad (infinitely differentiable) en met compacte steun: buiten een bepaalde gebonden regio wordt de functie nul.

In de meeste contexten is de verzameling van testfuncties de ruimte C_c^\infty(\mathbb{R}^n) of een van haar varianten. Een testfunctie kan worden gebruikt om een distributie te evalueren via de koppeling met een integraal: T(\phi) geeft een getal voor elke testfunctie φ. Daarnaast bestaan er andere gerelateerde ruimten, zoals de ruimte van snel afnemende gladde functies S(\mathbb{R}^n) (de Schwartz-ruimte), die ook als testfuncties voor bepaalde soorten distributies dienen.

Voorbeelden van standaard testfuncties zijn “bumps” of “demppers.” Bijvoorbeeld op de lijn: φ(x) = exp(-1/(1 - x^2)) voor |x| < 1 en φ(x) = 0 voor |x| ≥ 1. In hogere dimensies kan een radiale bump φ(x) = C exp(-1/(1 - ||x||^2)) voor ||x|| < 1 zijn en 0 daarbuiten. Zulke functies zijn oneindig vaak differentieerbaar en hebben een eindige ondersteuning.

Toepassingen omvatten het reguleren van distributies door convolutie met een mollifier (een familie testfuncties die afneemt naar delta), het opbouwen van partitites of eenheid in analyse, en het vormen van kernachtige grenzen en limieten. Testfuncties spelen ook een cruciale rol in bewijsvoering binnen functional analysis en in de theorie van verspreidingen.